モンティ・ホール問題というのは、「直感で正しいと思える解答と、論理的に正しい解答が異なる問題」の適例とされる問題です（参照：Wikipedia）。
- A,B,Cの３つの扉の一つに商品が入っている。
- 挑戦者は、３つのうち1つを選択する（選択した扉をAとする）。
- 選ばなかった2つ扉のうち、ハズレの扉（Cとする）を司会者が開く。
- 挑戦者は、AからBに変えるかどうかの選択をすることができる
- この場合、挑戦者は選択を変えたほうがいいか変えないほうがいいか？
最初の確率は3択だけど、一つの扉が開いたことで2択になったんでしょ？なら結局どちらを選んでも50％だから変えても変えなくても同じなんじゃない？
凡俗はそう考えて当然だ…（©宮崎駿）
これは、説明が難しい計画をどのように経営陣に納得してもらうか、という考察に良いテーマなので、今回はこの問題を検討してみたいと思います。
まずは、結論から…
この問題はネットで検索すると色々な人が色々な説明をしていますが、一番まとまっているのがWikipediaの説明ですので、この問題をご存じない方はまずはこちらを見てみてください。
この問題について調べたとき、あまりにもわかりにくくてうんざりしたのでなんとかわかりやすく説明できないか、と筆者考えたのが以下の説明です。
感覚的な納得感を得るための説明
| この問題を、以下のように変えてみます。 二人の挑戦者、阿部さんと伊藤さんが順番に扉を選びます。 まず、阿部さんが扉Aを選び、次に伊藤さんが扉を選ぼうと したときに、司会者が”伊藤さんに特別にヒントをあげます。 阿部さんが選ばなかった扉のうち少なくとも扉Cは外れです！” と教えてくれました。 そのため、伊藤さんは扉Bを選択しました。 右の絵でいうと、２番めの伊藤さんが悩んでいる時点では、 彼が正解を選ぶ可能性は1/3です。しかし、司会者がヒントを くれた後のほうが正解する確率が高くなっているように 見えます。 |  |
つまり、司会者は阿部さんが選択をしたあとに、伊藤さんのためにヒントをあげていることになります。この場合、直感的に阿部さんが不利、と感じることができます。
阿部さんが選択肢を変えなかった場合、伊藤さんが選択を変えた場合と置き換えると”司会者が扉を開けたあとに選択を変更したほうが正解の確率が高い”ということが直感的に理解できるのではないでしょうか。
論理的に理解するための説明
直感的に納得できたところで元のケースに戻って論理的な説明を試みてみます。
この例では、挑戦者がAを選択したあと、必ず選択肢を変更した場合に当たる確率を考えます。
- Aが正解だったケース…BまたはCに変更するので、外れます。
- Bが正解だったケース…司会者がCを開けてるので、Bを選択することになり当たります。
- Cが正解だったケース…司会者がBを開けてるので、Cを選択することになり当たります。
したがって、変更をしたほうが当たる確率が倍になります。
うん、一度選択をしたあとに、司会者はあくまでも残った２つをターゲットとしてヒントを与えている、と考えるとわかりやすいね。
なるほど、よくわかった！（よくわからなかった…）
課題はなにか
以後は、なぜこの問題がわかりにくく、色々な説明が試みられているのかということについてのまとめです。他のサイトなどで書かれていることと同じなので、軽く飛ばして結論をご確認ください…
確率を混同している
まず、根本的な理由は直感的に感じる確率を間違うということです。具体的には、以下のどちらかと混同しています。
- 最初に選択したときは確率が1/3だったが、ドアを一つ開けたことで2択になった。そのため、最初に選択したドアも、変えたとしても50％の確率で正解である。
説明が長く、理解しづらい
Wikipediaの説明は、正しく論理的に説明しているためわかりにくく、長い説明になっています。以下は理解するための考え方の例です。
そのドアに景品が入っていることを ○ で示す。
ドア A, B, C が ○ である確率は、それぞれ 1/3 である。
「ドア A が ○ である確率」は 1/3 であるが、「B または C が ○ である確率」は 2/3 である。
ドア C を開いたあとでも、「B または C が ○ である確率」は 2/3 である。
ドア C を開いて、C が ○ ではないと判明したあとでは、「B が ○ である確率」は、「B または Cが ○ である確率」と等しい[5]。その確率は 2/3 である。
「A が ○ である確率」は 1/3 であるが、「B が ○ である確率」は 2/3 である。
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』これは比較的わかりやすい方の例ですが、これを読み上げられて聞いているだけですんなり理解できる人は少ないのではないかと思います。
これをプレゼンで話したら”つまり、どういうこと？”と聞かれるのは間違いありません。。。
アプローチの仕方
ということで、色々な説明が試みられています。以下はその例です。
扉を10枚に増やしてみる
これは例を極端にしてわかりやすくする、という例えです。
挑戦者が選択できるのは1枚だけなので、確率は1/3ではなく1/10になります。
残りの9枚のうち、司会者がハズレの8枚を開けたとしたら変更したほうが確率は上がるでしょうか。
数学的に証明する
Wikipediaでは、ベイズの定理を利用した証明が掲載されています。が、とはいえ
上記は感覚的に攻めた場合ですが、経営陣というのはなんとなく納得できても、数字的な根拠のない説明を嫌う傾向にあります。論理的な面からも説明する必要があります。
マトリックスで説明する
最初にこの問題を指摘したマリリンというコラムニストが説明に使った図です。正直、他の説明よりもこの図が一番わかり易いですね…
まとめ
色々な説明を見て思ったのは、要するに紛糾する原因が確率に関する錯誤にあるので、それをいかに解消するのかが鍵になるということです。
それが解消できないと、説明に時間を費やして理屈としては理解できるが納得できないということになり、提案者としては満足できない結果になる可能性があります。
ということで、人を説得するにはまず感情的な部分を解決し、その後で理屈に入るのがいいよ、というお話でした。
コメント